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어제밤을 뜨겁게 달구었던 확률문제 정답발표

2011.03.09 12:49

오늘은 익명 조회 수:2403

http://djuna.cine21.com/xe/?mid=board&page=3&document_srl=1887177

역시나 이곳에서도 많은 논란이 있네요.

나름 유명한 문제라서 다른 곳에서 보셨던 분들도 있으실텐데요

현재까지 알려진 바에 의하면 '출제자가 의도했던 정답'은 1/4이라고 합니다.

"뽑아서 따로 보관하는 시점에서 확률은 확정되고 이후의 사건은 이전에 발생한 사건에 영향을 미칠 수 없다. 카드 한팩은 네가지 무늬가 같은 갯수로

들어있으므로 다이아몬드를 뽑을 확률은 네가지 중의 하나, 1/4"

이라는건데요,

원래 이 문제가 처음 올라왔던 2ch에서는 관련 댓글이 10만개가 넘었었다고 합니다.

심지어는 슈뢰딩거의 고양이까지 언급되었다고 하네요.

크게는 1/4파와 10/49파가 대립하고 있고 여타의 소수의견들이 난무하고 있지요.

결국 진실은 어둠속으로..., 이 게시물을

JnK

2011.03.09 12:55

조커 2장을 계산해야하니까 13/54거나 10/51이거나 ^^

댓글
멍멍

2011.03.09 12:57

출제자가 뭘 의도했는지 모르겠지만;;;; 답은 10/49입니다.

문제를 좀 간단히 해봅시다.
(트럼프대신) 빨간공과 검은공이 들어있는 주머니에서 공 하나를 꺼내서 상자에 넣고,
다른 하나를 꺼내서 보니 검은공이었습니다.

상자에 있는 공이 빨간공일 확률은 얼마일까요?

검은공을 꺼낸 사건은 영향이 없으니 50%일까요? 아니면 100%일까요?

댓글
헬마스터

2011.03.09 13:01

슈뢰딩거의 고양이와 여타 소수의견은 정말 신기하네요.

댓글
륜

2011.03.09 13:13

다이아몬드를 뽑을 확률은 1/4, 뽑힌 카드가 다이아몬드일 확률은 10/49 아닐까요?@_@
뭐라니...

댓글
SJANU

2011.03.09 13:14

밑에 글에 제가 쓴 리플이지만 "첫장을 뽑았을때의 확률"과 3장을 확인한 후에 "첫장이 뭔지 확인할 때의 확률"은 서로 다른 값. 이게 그래도 합리적으로 설명해주는 말 아닐까 싶어요.

댓글
안녕핫세요

2011.03.09 14:01

그냥 잘 하는 비전공자 빼고 딱 잘라서 수학과, 수학교육과, 통계학과 출신도 굉장히 많을 텐데 어떻게 결론이 안 나고 '출제자의 의도'가 나올 수가 있을까요? 뭐가 정답이든 대립이 있다는 게 신기해요. 문장을 옮기는 과정에서 문제가 생겼다면 모를까.

댓글
폴라포

2011.03.09 14:14

당연히 10/49죠
그냥 경우의 수를 몽땅 따져봐도 되는 문제이고,
위의 멍멍님의 말씀처럼 생각해도 되는 문제이고,
극단적으로 세개가 아니라 열세개를 열어봤는데 모두 다이아몬드더라..그럼 처음에 하나 빼놓은 게 다이아몬드일 확률은?..으로 문제를 바꿔놓을 때 당연히 다이아몬드일 수가 없는데 확률이 바뀔 수 없다고 1/4로 나오는 건 어불성설임으로도 알 수 있는거죠.

그냥 출제자가 확률을 잘 모르는 거든지 아니면 와전된 거든지..

댓글
호레이쇼

2011.03.09 14:16

10/49 가 정답입니다. 출제자가 그렇게 의도했다면 아래 제가 다시 낸 문제처럼 일부러 다이아몬드 3장을 제거했을 경우에만 그렇죠.
그 경우는 3장을 제거하는 행위가 100% 확실하기 때문에 먼저 뽑은 카드의 확률에 영향을 미치지 않는 겁니다.

댓글
bean

2011.03.09 14:19

당연히 10/49 입니다.
1/4라고 하시는 분들은 1장을 미리 뽑아놓은 상태에서, 나머지 카드중 13장을 추가로 뽑았는데 모두 다이아가 나왔어도
처음 뽑은 카드의 확률이 0이 아니라 1/4이라고 우기시는 겁니다.

댓글
mad hatter

2011.03.09 14:35

좀 이상한데요.

내가 카드를 한 장 뽑았습니다. 이게 다이아몬드일 확률은 얼마일까요? -> 1/4

내가 카드를 한 장 뽑았습니다. 아직 확인 안했습니다. 그런데 나머지 뭉치에서 누가 카드 세장을 뽑았는데 모두 다이아몬드였습니다. 이제 내가 뽑은 카드가 다이아몬드일 확률은 얼마일까요? -> 10/49 ..?

몬티 홀 문제는, 내가 정하고 나서 사회자가 꽝을 하나 확인 시켜주고 바꿀 기회를 줍니다. 이 때는 바꾸는 게 무조건 유리하다는 얘기입니다. 왜냐하면 사회자는 내가 고른 것 외에 꽝인 것을 골라야 하므로 이 행위가 확률에 영향을 주기 때문에 바꿔야 한다는 겁니다. 이 때에도 내가 바꾸지 않으면 원래 확률은 유지됩니다.

나머지 카드에서 다이아몬드를 12장 골라내도 확률이 같을 것이냐고 하시는데 그 경우는 골라낸 뭉치에서 다시 뽑을 경우에나 확률이 달라지는 겁니다. 결과값과 확률을 혼동하면 안됩니다. 확률이 무엇이던 간에 결과값은 꽝일 수 있는 겁니다.

만약에 윗분들 논리대로라면 몬티 홀 문제에서 사회자가 꽝을 확인 시켜준 순간 내가 고른 것이 당첨될 확률은 1/2 로 올라갑니다. 그런데.. 그렇지 않죠. 경우의 수가 3에서 고른 것이니까요. 그 시점에선 여전히 1/3 이고 바꿔야지 2/3 가 됩니다.

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폴라포

2011.03.09 14:49

몬티홀 문제는 사회자가 어느게 꽝인지 아는 경우이고,
이 문제의 경우는 그렇지 않죠.
몬티홀 문제를 사회자가 어느 게 꽝인지 모르는 경우로 바꾼다면 원래의 답과 달라져요.

댓글
mad hatter

2011.03.09 14:54

폴라포/ 사회자가 어느 게 꽝인지 모르는 경우에 답은 바뀔 수 있지만, 그건 경우의 수가 줄어들고 다시 선택하는 것이니까 확률이 1/2보다 커질 수 없다는 것 정도입니다. 이 경우에는 바꾸는 행위가 없습니다. 즉, 처음과 같은 확률이다라는 겁니다.

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폴라포

2011.03.09 14:57

아뇨, 몬티홀 문제에서는 사회자가 아는 경우가 확률이 바뀌지 않아서 원래 고르는 것에서 바꾸는 게 유리하다는 게 답이죠.

이 문제의 경우는 모든 걸 떠나서 확률의 정의가 뭔지 생각해보시면 왜 1/4이 말이 안되는지 알 수 있죠.
확률은 (관심있는 사건의 경우의 수)/(모든 사건의 경우의 수) 이잖아요.
만약 열세개를 열어봤는데 전체가 다이아몬드가 나왔다고 하죠. 그러면 처음 뽑아놨던 한개가 다이아몬드인 경우의 수는 몇인가요?
0 이잖아죠.
그런데 위의 풀이와 같은 논리과정이라면 여전히 1/4이 나와야하는데 맞지 않죠.

댓글
mad hatter

2011.03.09 14:59

폴라포/ 아니죠. 열세개를 열어봤는데 전체가 다이아몬드가 나왔으면 처음에 뽑은 게 다이아몬드가 아니라는 '결과'를 확인한 것인지 처음에 뽑았던 카드가 다이아몬드일 확률이 바뀌는 게 아닙니다. 확률이 바뀌려면 카드를 바꿀 수 있는 기회 - 바뀐 경우의 수에서 특정값을 선택할 수 있는 기회 - 가 주어져야 합니다.

이렇게 생각해 보죠. 52장의 카드에서 다이아몬드를 뽑으면 돈을 준다고 했을 때, 뽑은 카드 이외의 카드 중 3장을 고르는 행위로 확률이 변한다면, 그게 다이아몬드가 아니더라도 확률은 변해야 합니다. 가령 세 장 다 다이아몬드가 아니라면 13/49 로 확률이 바뀌어야죠. 그러면 카지노는 무조건 카드를 공개하면 당첨 확률이 떨어지니까 무조건 공개를 하면 됩니다.

그런데 과연 그럴까요?

댓글
bean

2011.03.09 15:00

mad hatter /
우리가 가지고 있는 정보가 없을 때, 1/4 이었던 것이고, 우리가 정보를 얻었을 땐 확률이 변하는게 당연하죠.
흔히 우리가 말하는 조건부확률 이라는 것도 사건이 발생했을 때 조건이 일어났느냐 아니냐가 중요한 게 아니라 조건에 대한 정보가 주어진 것이라 이해해야합니다.
단순히 꽝이냐 당첨이냐 50명이서 추첨을 하고 있을 때, 꽝인 용지가 하나하나 발표되면 당첨용지를 가진 당첨자의 확률은 1/50에서 1/49 이런식으로 증가합니다. 왜냐하면 확률의 합은 1이며 꽝으로 발표가 난 용지의 확률은 1/50에서 0으로 줄어들기 때문이죠.
ps. 확률과 결과값의 개념에 대해 설명을 해주세요. 저도 전공자는 아닌데 이것저것 줏어듣는 수준이라서 그 부분에 반박은 못해드림..

댓글
폴라포

2011.03.09 15:01

mad hatter/
그 확률을 따져보는 시점이 열세개를 열어본 후가 되는 거잖아요.
열세개를 열어보기 전에 확률을 따지는 거랑은 다르죠.
어제 글을 열어보니 누가 조건부확률을 말씀하셨는데,
풀이 자체는 조건부확률이 들어갈 필요가 없지만 두가지 경우가 혼동이 되면 조건부확률을 생각하셔도 되겠네요.

댓글
bean

2011.03.09 15:02

위 경우 같은 경우, 확률을 예측하는 사람이 주어진 정보(3장이 다이아가나옴)를 알고 있는 상태에서 원래 카드의 확률을 예측하는 것이니 불확실성의 정도가 줄어들어 확률이 크게 나오겠죠.

댓글
bean

2011.03.09 15:06

크게->작게 수정합니다.

댓글
폴라포

2011.03.09 15:10

mad hatter/ 밑에 첨가하신 예는 제가 무슨 의미로 하신 말씀인지 이해를 잘 못하겠네요. 13/49면 1/4보다 확률이 늘어난 거잖아요? 3장의 카드가 뭐냐에 따라서 확률이 1/4보다 늘어날 수도, 줄어들 수도 있죠.

댓글
mad hatter

2011.03.09 15:38

이렇게 생각하면 어떨까요?

나머지 51장의 카드 중 다이아몬드가 11장일 확률 -> 1/4
그 중 3장을 확인했을 때 모두 다이아몬드라면 원래 다이아몬드가 11장일 확률 -> 10/49

이게 맞다면 10/49 가 맞는 것이겠죠. 그런데.. 왠지 이 경우는 확률 변화가 없어 보이는데요.

위의 예는 바꾸겠습니다. 만약 카지노에서 투시 안경을 써서 어느 것이 다이아몬드인지 아는데, 당첨 확률을 떨어뜨리려면 돈을 건 사람이 무엇을 뽑았던 간에 다이아몬드 3장씩 보여주면 당첨 확률이 떨어져야 합니다. 25%에서 20.4%로 떨어지겠죠. 그러면 단지 투시 안경으로 다이아몬드 3장씩 보여주는 것으로 인해 카지노는 5%가량의 이득을 봅니다.

댓글
왜가리no3

2011.03.09 15:54

저도 파코즈에서 낚였던 거네요... SJANU님 말씀대로 미래 행위에 대한 가능성(뽑을 확률)과 이미 일어난 결과를 역추론으로 추측할 때 맞을 가능성은 서로 다른 것이거든요. 문제를 한국어로 번역한 문장을 보면 1/4을 의도한 것이면 문장을 잘못 쓴 것입니다.

경우가 약간 다르긴 하지만 비슷한 예로 주사위 굴리기를 한다면, 주사위 굴릴 때 1이 나올(즉 발생 가능성) 확률은 1/6이지만, 주사위 두 번 굴려서 합이 8이 나왔을 경우, 첫 번째 굴리기에서 1이 나왔을 확률(이미 일어난 결과를 추론할 때의 가능성)은 0이 되는 것이죠.

댓글
폴라포

2011.03.09 15:57

mad hatter/
11장이요? 다이아몬드는 모두 합쳐서 13장인데요? 나머지 51장 중 11장이 아니라 12장이 다이아몬드일 확률이 1/4이겠죠.
그리고 3장이 다이아몬드일 때는 원래 나머지 카드 중 12장이 다이아몬드일 확률 = 아직 뒤집지 않은 48장 중에 9장이 다이아몬드일 확률 = 한개 빼놓은 거 합하면 49개인데 그 중에 10장의 다이아몬드가 있고 한 개 뽑아놓은게 다이아몬드일 확률을 구하는 것이니 10/49네요.

예로 들어주신 카지노의 경우는 확률 변함 없는 게 맞고,
위에서 몬티홀 문제를 언급하면서도 이야기했지만 뭐가 꽝이고 뭐가 당첨인지 알고있는 사회자가 패를 뒤집는다면 확률이 변하지 않습니다.

댓글
mad hatter

2011.03.09 16:06

폴라포/ 11은.. 12를 잘못 얘기한 것 맞습니다.

위의 제 두번째 예에서 카지노가 만약 뽑았던 카드가 다이아몬드인지 아닌지 맞춰보라고 하면 승률은 20.4% 가 되지만 다이아몬드 3장을 보여준 다음에 원래 뽑았던 카드 결과에 따라 당첨금을 지급한다면 25% 의 승률로 처음에 돈을 건 사람은 이득을 얻게 됩니다. 저는 이걸 얘기하고 싶었습니다. 이미 뽑은 카드를 결정의 결과로 볼 것이냐, 나중에 정보를 더 얻은 다음에 결정을 하는 것이냐.

댓글
가오가오

2011.03.09 16:11

쉬운 문제를 복잡하게 생각해서 어려워져 버렸군요..

간단히 문제내용을 보면 첫번째로 뽑았던 카드가 다이아몬드일 확률에 대해서 묻는 겁니다. 그 뒤에 뽑은 세장이 다이아든 클로버든 상관이 없는거죠.

당연히 그러면 답은 1/4.. 뒷 문장은 무시해도 좋은 부분이죠. 확률이라기 보다는 말장난이군요..

댓글
폴라포

2011.03.09 16:14

mad hatter/
아뇨, 들어주신 예에서 확률은 20.4%가 아니라 25%에요.
그건 3장을 뽑은 사회자?딜러?가 뭐가 당첨인지 알고있기 때문이고, 몬티홀 문제와 똑같이 생각할 수 있어요.
몬티홀 문제의 경우도 나머지 두개 중에서 꽝을 하나 보여준다고 해서 원래 1/3이던 확률이 변하는 게 아니니까 선택을 바꾸는 쪽이 유리한 거고요.

댓글
폴라포

2011.03.09 16:16

가오가오/
뒷문장은 무시할 문장이 당연히 아니죠.
원래의 확률과 조건부확률은 당연히 '조건'에 의해 달라지는 걸요.

댓글
폴라포

2011.03.09 16:21

피상적으로 생각하지 말고 '경우의 수'를 따져보면 명료한 문제인데..
이산확률변수의 경우는 수식같은 건 결과를 깔끔하고 빨리 내기 위한 도구이고,
확률 자체는 경우의 수만 따져보면 논란의 여지 없이 정해지죠. 경우의 수 몇개를 빠뜨리고 세지 않는다거나 하는 실수만 하지 않으면요.

댓글
가오가오

2011.03.09 16:26

폴라포님// 당연히 조건부 확률이라면 답이 달라지죠. 첫번째를 모른 상태에서 뒤에 세장이 다이아몬드일때"만" 첫째장이 다이아일 확률이라면 조건부 확률이 되지만 문제의 의도는 그렇게 보이지 않더군요. 뒷 문장은 말그대로 혼란을 일으키기 위한 장치로 보이더라구요.

문제의도만 정확히 판단한다면 확률계산이야 지나가면서 배운 사람도 풀수있는 수준인거고.. 일단 본문의 출제자의도의 답이 1/4 이라는 것은 뒷문장은 혼란을 야기하기 위한 장치였다고 밖에 볼수없군요. 그 문장을 안봤더라도 1/4 이라고 생각했겠지만..

댓글
폴라포

2011.03.09 16:40

가오가오/

"....3장이 모두 다이아몬드 카드였습니다.
이때, 상자안의 카드가 다이아몬드일 확률은 얼마일까요?"

전형적인 조건부 확률 문장인데요.
그냥 첫번째 카드가 다이아몬드일 확률을 구하는 게 아니라 나머지 카드 중 세장이 다이아몬드라는 걸 전제로 첫번째 카드가 다이아몬드일 확률을 구하는 거잖아요. 세장이 다이아몬드일 때 '만'이라는 건 어떤 의미이죠? 뒤집었더니 다이아몬드가 나온건 이미 나온 결과인데요. '이때'라는 단어를 줘놓고 그걸 무시하고 구하라는 건 말도 안되죠.

댓글
머루다래

2011.03.09 17:30

폴라포//그게 문제의 함정 아닌가요?

52장의 카드 중 하나를 상자에 넣었습니다. 이게 다이아몬드일 확률은? 1/4.
다이아몬드 한 장 빼고 그 이후에 뺀 3장의 카드 모두가 다이아몬드일 확률은? (이걸 x라 놓으면)
이 x는 맨 처음 1/4와 아무런 연관이 없는 것 같은데요.

댓글
폴라포

2011.03.09 18:01

머루다래/
연관없는 사건이 아니죠.
두 사건이 확률에 영향을 주지 않는 독립사건이라면 P(A∩B)=P(A)xP(B)가 성립해야 하는데,
카드 세개를 뽑아서 다이아몬드가 나올 확률 P(A) = (13/52)*(12/51)*(11/50)이고
그냥 한장을 뽑았을 때 다이아몬드가 나올 확률 P(B) = 1/4
그리고 세장을 뽑은 게 다이아몬드이면서 꿍쳐뒀던 한장이 다이아몬드일 확률 P(A∩B) = (13/52)*(12/51)*(11/50)*(10/49) 이죠.
여기에서 계산한 P(A∩B)는 P(A)xP(B)와 분명 다릅니다.
따라서 두 사건은 독립사건이 아니고요,

이 문제가 요구하는 답은 P(B)|P(A) = P(A∩B)/P(A) = 10/49 입니다.

댓글
mad hatter

2011.03.09 18:16

이 문제는.. 조건부 확률로 볼 수 있느냐부터 얘기를 해봐야 하는데 조건부 확률이라고 단정해 버리면 더 이상 할 얘기 없습니다. 그냥 10/49 이죠.

댓글
폴라포

2011.03.09 18:33

조건부 확률로 푼건 다들 헷갈려하셔서 그런 겁니다.
위에 댓글에서 썼지만 굳이 조건부확률을 안써도 10/49가 나오는걸요.
49개를 안열어봤고 다이아몬드 카드는 10개가 남았잖아요.

수학문제를 국어나 문학 문제로 자꾸 생각하는 게 혼란을 주는 것 같은데요.
문제 문장을 해석하기 나름이다 라는 식의 국어문제로 바꾸는 거나 출제자의 의도에 따라 달라지는 거다 라는 식의 관심법문제로 바꾸는 식이라면 저도 할말 없죠; 저는 순전히 수학문제라고 생각하고 풀었으니깐요.

댓글
멍멍

2011.03.09 20:46

기둥 뒤에 카드 있어요 쪽으로 가는 것 같네요.

1/4이라고 생각하시는 분은 제가 답글에 쓴 문제의 답도 1/2라고 생각하시는 건가요.
아님 그냥 개소리라고 생각하시는 건가요 ㅠ.ㅠ 멍멍.

댓글
art

2011.03.09 22:37

절대로 1/4 아닌데요. 길게 싸울 필요도 없는 간단한 증명이죠. 이미 정답이 나왔네요.

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