방정식을 세워서 풀거나 곱셈을 해서 이해하는 것이 좋은 풀이인지 모르겠습니다. (그렇게 생각하는 이유는 마지막에 적었습니다.) 개인적으로, 많은 사람들이 문제 자체가 정확하게 무엇인지를 이해하지 못하기 때문에 이 문제를 혼란스럽게 느끼는 것이 아닌가 생각합니다.
우선, 문제 자체를 이해하기 위해서 숫자와 수를 구별할 필요가 있습니다. 즉, 우리가 사용하는 숫자, 정확하게는 십진 소수 표기법 (decimal notation)이 실제 수 그 자체와 같은 것이 아니라는 것을 분명하게 이해하는 것이 중요합니다.
다시 말해, 십진 소수 표기법은 각각의 수에 이름을 붙이는 한가지 (유용한) 방법이지만, 모든 수를 표현하기에는 불완전한 기호 체계이기 때문에 어떤 수에 대해서는 십진 소수 표기법이 존재하지 않고 (무리수는 십진 소수 표기법으로 정확하게 표기할 수 없습니다), 어떤 수에 대해서는 한가지 이상의 표기법이 존재하는 것이죠 (예를 들어 1과 0.999... 처럼).
지나치게 긴 설명을 피하기 위해, 1이나 0.9와 같은 기호가 지칭하는 수(정확하게는 유리수)의 실체가 무엇인지는 모두가 직관적으로 이해하는 것으로 가정하겠습니다. 다만 여기서 중요한 것은, 1과 0.9가 그 자체로 수가 아니고 어떤 수를 지칭하는 기호일 뿐이라는 것을 기억하는 것입니다.
따라서, 0.999... = 1 이라는 등식을 증명하라는 문제의 정확한 의미는, 십진 소수 표기법으로 0.999... 라는 기호가 지칭하는 수와 1이라는 기호가 지칭하는 수가 같은 수라는 것을 보이라는 문제인 것입니다.
이제 이렇게 문제를 이해하고 나면, 이 문제는 사실 0.999...라는 수를 수학적으로 엄밀하게 정의하는 방법과 연관이 있다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 순환 소수 0.999...가 지칭하는 수가 정확하게 무엇인지를 알아야 등식을 증명하겠죠. 순환 소수를 이해하는 가장 정확한 방법은 순환소수를
0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...
와 같이 무한급수로 이해하는 것입니다. 즉, 다음과 같이 조금씩 오른쪽으로 조금씩 움직이는 수열을 생각했을 때,
0.9 = 0.9
0.99 = 0.9 + 0.09
0.999 = 0.9 + 0.09 + 0.009
0.9999 = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009
0.99999 = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009
...
이 수열이 수렴하는 실수를 0.999...라는 기호를 사용해서 나타낸다는 것입니다. (엄밀하게는 모든 실수(real number)를 정의할 때 이런 수열 자체가 하나의 실수로 정의됩니다. 하지만 정확한 정의는 의외로 길고 추상적인 설명이 필요하니 생략합니다.) 특별히 많은 수학적인 훈련을 받지 않았더라도 이 수열이 1(이 나타내는 수)로 수렴한다는 것은 직관적으로 받아들일 수 있을 것입니다.
따라서, 십진 소수 표기법으로 0.999...이 나타내는 수와 1이 나타내는 수는 같은 수라는 것을 알 수 있고, 그것을 0.999... = 1 이라고 적는 것입니다.
요약하면
1. 숫자 1 과 0.999...는 엄밀하게 말하면 그 자체로 수가 아니고 어떤 수를 지칭하는 이름들일 뿐이다.
2. 따라서 1 = 0.999...라는 등식은 숫자 1이 지칭하는 수와 숫자 0.999...가 지칭하는 수가 같은 수라는 것을 의미한다.
3. 이것을 증명하기 위해서는 0.999...가 지칭하는 수가 무엇인지를 알아야 한다.
4. 0.999...가 지칭하는 수는 수열 {0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...}이 수렴하는 수로 정의된다.
5. 이 수열은 1로 수렴한다.
6. 따라서 등식 1 = 0.999...이 성립한다.
(참고로, 방정식을 세워서 푸는 풀이는 0.999...에 10을 곱하면 소수점이 한자리 옮겨진다는 법칙을 이용하는데, 이 법칙은 엄밀하게는 순환소수를 위에서처럼 정의한 다음에야 증명할 수 있는 것이고, 마찬가지로 0.333... * 3 = 0.999... 라는 등식도 엄밀하게 따지면 0.333...과 0.999...를 위에서처럼 정의한 다음에야 증명할 수 있는 문제입니다. 따라서 일종의 순환 논증에 가까운 것이죠.)
