인터스텔라에 나오는 밀러 행성은 과연 어느 정도의 중력을 받을까?

밀러 행성 중력장하고 블랙홀 중력장 둘다 벗어나야 시간의 흐름이 지구와 같은 공간으로 나오죠. 근데 블랙홀 중력장이 행성 중력장하고는 비교도 안 되게 크기 때문에 사실 밀러 행성이 구심력으로 블랙홀에 빨려들어가지 않고 버틴다 치더라도 밀러 행성의 물이 블랙홀 방향으로 끌린채로 유지된다면 기조력으로 파도치는걸 넘어서 블랙홀로 다 빨려 들어갔어야 한다는 결론이 나옵니다(...) 착륙선도 행성을 벗어나서 블랙홀 중력장에서 빠져나올 때 광속의 0.9999배로 가속해야 되고...

로렌츠 변환은 특수 상대성 이론에서 시공간의 좌표 변환할 때 쓰는 수식이고요, 내용도 사실 시간축의 제곱과 공간축의 제곱으로 시공간상에서의 거리를 구하는 공식이라 보시면 됩니다.

시공간의 축변환만 단순 계산할때는 그냥 시간축은 1초=30만킬로미터짜리 공간축으로 변경해서 삼각함수로 계산하면 됩니다. (로렌츠 변환은 그런 축변환에 더해서 기준점에서의 위치좌표 변경까지 더해지는 것임)

로렌츠 변환을 사용하는 경우는, 가령 정지한 관성계에 대해 거의 빛의 속도로 움직이는 관성계 내의 물체와 상대적 운동을 하는 물체의 좌표를 정지한 관성계의 시간에 대한 좌표로 계산한다거나 하는데 쓰는 것이므로,  인터스텔라의 경우에 예로 들어본다면 밀러 행성에서 탈출하는 우주선이 시간에 따라서 어떤 공간좌표에 있는가 이런걸 계산하는데 매우 유용합니다. 물론 그 역함수로 행성 근처에서 얼마나 시간이 느려지는가도 계산을 할 수 있겠지만... 문제는 블랙홀의 질량, 행성에 걸리는 중력가속도의 크기 이런 파라미터는 하나도 알 수 없고 유일하게 영화에 나온 대사로 '행성 표면에서의 1시간이 외부관성계에서는 7년' 이라는거죠. 물론 로렌츠 변환식에 넣어서 계산해도 됩니다. 그 경우 로렌츠 변환식에 제가 위에서 구해놓은 탈출속도를 분모의 제곱으로 해서 넣으면 외부 관성계 시간에 따른 상대적인 우주선의 탈출 위치 (행성보다는 블랙홀에서 어느정도로 멀어지는가) 및 그 위치에서의 우주선 내부의 주관적 시간 경과를 계산할 수 있지요. 근데 해보시면 아시겠지만 외부 관성계의 특정 시간에 우주선의 특정 위치와 우주선 시간을 구할 수는 있지만 그 우주선이 블랙홀 중력장으로부터 거의 벗어날 때까지 경과한 우주인들의 시간은 로렌츠 변환을 적분해서 구해야 됩니다. 오 쉿... 뭐 영화에서는 그 정도는 군사용 로봇이 대신 해주는 정도로 퉁치고 넘어갈 수 있지만... (사실 군사용 컴퓨터의 용도란게 시간과 공간좌표를 가지고 적분을 통해 탄착점을 계산하는데 쓰니까 현실과도 맞아 떨어지긴 하죠)

로렌츠 변환식도 자세히 보시면 그 식의 내용이 빛의 속도에 가까와지면 속도가 단순히 더해지는게 아니고 속도를 제곱한다음 광속의 제곱으로 나누고 그 수의 제곱근을 더하는 식으로 해서 최종 속도가 광속을 초과하지 않게 하는 변환입니다. (특수 상대성 이론: 빛의 속도보다 더 빠른것은 없다) 이 과정에서 쓰여진 제곱과 제곱근은 사실 시공간상에서 길이 단위(시간도 길이로 표현됨)의 광속의 속도로 넓어지는 원 안에 운동하는 물체를 위치시키는 수식이기 때문에 그냥 원 위에서의 좌표를 최대값으로 놓고 삼각함수만 사용해서 시간축이 공간축으로 얼마나 기울어져야 하는가를 찾아낸 게  그냥 제가 단순하게 행성에 가해지는 가속도(=중력장)을 계산한 방법인 겁니다.

상대성 이론 너무 어렵게 생각하실 필요 없어요. 상대성 이론에서 1초=약30만km의 좌표로 놓고 시간도 3차원 공간과 직교한 네번째 좌표로 놓는다는것부터 시작해서, 로렌츠 변환의 경우는 그런 시공좌표계에서 물체의 운동 속도가 어떤 경우라도 빛의 속도를 초과하지 못하도록 하는 속도의 덧셈 조작인거고. 물론 더해지는 수가 그냥 스칼라가 아니기 때문에 로렌츠 변환으로부터 시간왜곡의 정도도 산출할 수 있지만 1시간=>7년의 변환을 구할 때 굳이 로렌츠 변환식에 넣어서 골머리 아프게 계산하기 보다는 그냥 시간축이 어느정도로 공간축에 가까와야 그렇게 늘어지면서 정지좌표계로 프로젝션되는가...를 보는건 그냥 사인 코사인만 써도 나옵니다...